PRÁCTICA LABORATORIO N° 2
CAIDA LIBRE Y MOVIMIENTO PARABÓLICO










GRUPO N° 5
CRISTHIAN CAMILO CELEITA HERNÁNDEZ
CODIGO Nº 141002411
MIGUEL EDISON GOMEZ O.
CODIGO Nº 141002499






Lic. SANDRA L. RAMOS D.
Docente






CURSO: CINEMATICA Y DINAMICA NEWTONIANA






UNIVERSIDAD DE LOS LLANOS
FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y DE EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA
CUARTO SEMESTRE




VILLAVICENCIO - febrero 2011



INTRODUCCIÓN

Al soltar una piedra desde cierta altura esta caerá indudablemente. Pero, ¿se acelera durante la caída? ¿Qué velocidades adquirirá durante estas caídas? Sabemos que parte del reposo y que adquiere rapidez al caer. Lo sabemos porque podríamos atraparla sin hacernos daño después de la caída de un metro o dos metros, pero no si cae de lo alto de un edifico. Así pues, la piedra adquiere una mayor rapidez durante el tiempo que le toma en caer desde lo alto de un edificio que durante el intervalo de tiempo menor que adquiere al caer de un metro. Este aumento de la rapidez indica que la piedra si acelera. La atracción gravitatoria hace que la piedra caiga una vez que la hemos soltado. En la realidad la resistencia del aire afecta la aceleración de un objeto que cae. Imaginemos que no existe la resistencia del aire y que la gravedad es lo único que afecta a un cuerpo que cae. Decimos entonces que el cuerpo está en caída libre. Los objetos que caen libremente están sujetos únicamente a la acción de la gravedad.


De otra parte podemos analizar el movimiento parabólico tal cual como se analiza el de caída libre. De hecho el movimiento parabólico tiene en condiciones ideales caída. Difieren en que el movimiento parabólico sostiene dos movimientos dimensionales mientras que la caída libre solo sostiene uno. Es por ello que el movimiento parabólico se estudia con otras premisas, pero siempre conserva la condición de que acelera porciones iguales en tiempos igual. A este movimiento se le conoce también como movimiento o lanzamiento de proyectiles. Se le llama así porque un proyectil es cualquier objeto que es lanzado por algún agente y que continúa en movimiento por su propia inercia.

Objetivos.
Describir el movimiento de los cuerpos en caída libre
Hallar experimentalmente el valor de la aceleración gravitatoria.
Identificar el movimiento parabólico como el movimiento de dos movimientos independientes.
Describir en su totalidad cada uno de los movimientos componente del movimiento parabólico

foto1.png
foto estroboscópica de caída libre

MARCO TEÓRICO
Caída libre.
En mecánica, se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva de un campo gravitatorio. Aunque esta definición formal excluye la influencia de otras fuerzas, como la resistencia aerodinámica, frecuentemente éstas deben ser tenidas en cuenta cuando el fenómeno tiene lugar en el seno de un fluido, como el aire o cualquier otro fluido. El concepto es aplicable incluso a objetos en movimiento vertical ascendente sometidos a la acción desaceleradora de la gravedad o a un satélite (no propulsado) en órbita alrededor de la Tierra[1]. El movimiento vertical de cualquier objeto en movimiento libre, para el que se pueda pasar por esto la resistencia del aire, se resume entonces mediante las ecuaciones:
a). v = -gt + v0. b). Vm = (vo + v)/2.
foto_2.png
foto estroboscópica de movimiento parabólico

c). y = -0.5 gt² + vo t + y0. d). v²= -2gt (y - y0).[2]

Movimiento parabólico.
Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme.[3] Para facilitar el estudio del movimiento de un proyectil, frecuentemente este se descompone en las direcciones horizontal y vertical. En la dirección horizontal el movimiento del proyectil es rectilíneo y uniforme ya que en esa dirección la acción de la gravedad es nula y consecuente, la aceleración también lo es. En la dirección vertical, sobre el proyectil actúa la fuerza de gravedad que hace que el movimiento sea rectilíneo uniformemente acelerado, con aceleración constante.[4]
Como el movimiento de proyectiles es bi-dimencional, donde ax = 0 y ay = -g, o sea con aceleración constante, obtenemos las componentes de la velocidad y las coordenadas del proyectil en cualquier instante t, con ayuda de las ecuaciones ya utilizadas para el M.R.U.A. Expresando estas en función de las proyecciones tenemos: X = Vxit = Vicosθt , Y = Vyit + ½at2 , Vyf = Vyi+ at , 2ay=Vyf2-Vyi2. [5]

DESARROLLO EXPERIMENTAL

MATERIALES.
Registrador de tiempo, cinta para registrador, regla métrica, regleta, cuerpos varios, hoja de papel, Rampa, esfera, regla de 1 cm, cinta blanca y papel carbón.[6]

DSC08510.JPG
imagen de cada uno de los implementos utilizados en la practica


PROCEDIMIENTO.

Primera Parte. Colocar una esfera de acero, un taco de madera y una hoja de papel abierta sobre una regla que está horizontal y a una altura de dos metros. Luego hacer girar la regla para ver qué sucede con los tres cuerpos. Repetir el proceso pero con la hoja de papel arrugada. Describir que sucede

Segunda Parte. Pegar la esfera a una cinta que va a pasar por el registrador de tiempo, quien está 40 Hz por segundo. Colocar el registrador a una altura de 1,5 metros seguidamente asegurarse de que la cinta tenga la menor fricción posible con el registrador. Luego prender el registrador y soltar la esfera con el fin de que se registren los tiempos y distancias de caída. Tabular estos datos tomando como distancia cada tres tics y el tiempo equivalente de este en segundos. Graficar estos esta tabla, linealizarla y obtener una función de posición respecto al tiempo. A partir de esta función encontrar la de velocidad y aceleración. ¿Cuál es la aceleración para este movimiento? Comparar con el valor de la gravedad ¿En qué porcentaje difieren? Calcule los errores cometidos en la práctica. Concluya.
Tercera Práctica. Instalar una rampa de tal modo que al dejar rodar una esfera por ella y esta salga de la rampa pegue en una regla que tiene papel carbón, marcando así su posición. La regla se irá separando de la rampa en intervalos de cinco centímetros con el fin de que la esfera marque su caída y posición. Así habrá una distancia horizontal y una vertical la cual será tabulada. Hacer una gráfica de Y(X) ¿Qué tipo de gráfica se obtuvo? Calcular el tiempo de caída de cada intervalo y colocarlo en la tabla de datos. Graficar X (t) y Y(t) linealizarla y hallar la función de cada una de ellas. A partir de estas unciones hallar vx(t), ax(t), vy(t) y ay(t) y con ello hacer una análisis de cada componente, además socializar y discutir con los compañeros. A continuación las evidencias de la práctica:
fotos_01.png
fotos de la realización de la practica





RESULTADOS

Primera práctica.
Al ladear la regla observamos que la esfera y el taco de madera caen al mismo tiempo, mientras que el papel queda flotando en el aire. Al arrugar el papel y repetir la practica observamos que los tres cuerpos caen al tiempo. Al analizar detenidamente pareciera que la esfera cae más rápido que los demás objetos pero, es muy mínima la diferencia que prácticamente se generaliza diciendo que caen al tiempo. Estas diferencias se deben a la forma del cuerpo ya que si la superficie del cuerpo es plana como en el caso del papel entonces obtendrá mayor resistencia con el aire y cera mucho más lento pero, si tiene una superficie como la esfera entonces cortara el aire y tendrá menor resistencia, es decir caerá con mayor facilidad. Pero en general todos los cuerpos deben caer, en condiciones ideales, al mismo tiempo sin tener en cuenta su forma, tamaño o masa.

Segunda Práctica.
Caída Libre. En esta práctica de caída libre se obtienen los siguientes datos:
|||||||||||| external image clip_image002.jpgTABLA DE DATOS
||

altura = 1,55 m
Registrador de tiempo a 40 Hz
tiempo en s
caída en m
tiempo en s
caída en m
tiempo en s
caída en m
0,000
0,000
0,225
0,161
0,450
0,669
0,075
0,014
0,300
0,293
0,525
0,916
0,150
0,077
0,375
0,462
0,60
1,198

Seguidamente pasamos a graficar estos datos y obtenemos la siguiente gráfica:
----.png


Ahora linealizamos esta gráfica y obtenemos lo siguiente de lo cual sacamos la función posición.


5.png


A partir de esta grafica obtenemos la ecuación de posición[7] que es aproximada a P(t)=3,72t2, para hallar las funciones velocidad aceleración bastas con hallar la primera y segunda derivada a la función posición, con ello obtenemos: V(t) = 7.45t y a(t) = 7,45. Para verificar todos estos datos y procesos ver ANEXO N° 2. Como vemos la aceleración para este movimiento da un valor de 7,45 m/s2 pero que el verdadero valor debería estar próximo a 9,8 m/s2 es decir que dando una diferencia porcentual entre estos valor obtenemos que difieren en un 24%[8], esta diferencia de porcentual se debe a, primero; a la fricción que presenta la cinta con el registrador de tiempo y segundo; a que cada vez que el registrador de un tic representa quitarle a velocidad a la cinta lo que tiene como consecuencia un cambio en la aceleración.
Tercera Práctica.


Movimiento Semiparabólico. En la práctica de movimiento semiparabólico se obtienen los siguientes datos[9]; La parte de la tabla en donde aparece tiempo es un caculo hecho por medio de ecuaciones matemáticas, es decir, que tiempo es una medida indirecta[10].
|||||||||||||| Tabla de Datos
||

Altura de la caída de la esfera es de 9,04 metros
dis . H. (m)
caída (m)
t (s)
dis . H. (m)
caída (m)
t (s)
0,00
0,00
0,00
0,30
-0,23
2,16*10-1
0,05
-0,01
4,52*10-2
0,35
-0,32
2,56*10-1
0,10
-0,03
8,21*10-2
0,40
-0,40
2,86*10-1
0,15
-0,81
1,29*10-1
0,45
-0,51
3,23*10-1
0,20
-0,11
1,51*10-1
0,50
-0,60
3,51*10-1
0,25
-0,17
1,85*10-1
0,55
-0,72
3,82*10-1








Seguidamente graficamos para analizar el comportamiento de la esfera en semiparábola.
grafica_posicion.png
gráfica de posición de la esfera tomando cada componente como una paramétrica y(x)


Ahora procedemos a las graficas de cada componente:
gráficas.png
gráficas de posición en X y Y es decir X(t) y Y(t)

La gráfica de posición x es una recta, por ello solo es hallar la pendiente y tenemos la función[11] f(x)=139,44x pero, la grafica de posición en Y si necesita linealizar y esa es la siguiente:



linealizacion.png
linealización de la caída libre de la esfera

sta ultima grafica responde a la función f(x)=2x+1,59 y al seguir un proceso matemático y relacionar esta ecuación con la grafica de posición en Y, llegamos a la función que representa dicha grafica f(x)=4,9x2. Para hallar las velocidades y las aceleraciones de cada componente (es decir X y Y) dividimos cada intervalo de distancia horizontal y de caída respectivamente en cada intervalo de tiempo. Pero, si tendemos ese tiempo a cero equivale a derivar las funciones así que, derivando nos quedan las siguientes respectivas funciones:


Derivadas
dx/dt
dy/dt
Función
x= 1,39t
y= 4,9t2
Velocidad
x'= 1,39
y'=9,8t
Aceleración
x''= 0
y''=9,8
Tal como aparece en la tabla de derivadas la velocidad en la horizontal es de 1,39 m/s pero, no hay aceleración. Mientras que en la caída la velocidad 980 por el tiempo (9,8t m/s) es decir la gravedad por el tiempo de caída, tal como lo plantean las ecuaciones de cinemática. Y la aceleración que es la gravedad o 9,8 m/s2.

Análisis.
Primera Actividades: Vemos que en la caída de los cuerpos de la primera actividad lo que más influyo es la forma del cuerpo. Es decir que entre más rozamiento tenga el cuerpo con el aire más tardará en caer, que para este caso fue el papel ya que su superficie es mucho más amplia que la de la esfera o el taco de madera. Esto sucede en condiciones no ideales ya que si se dejaran caer los mismos tres cuerpos en un tupo de vacio sus velocidades y tiempos de caída serían los mismos. Sin embargo cuando se arrugo el papel pareció que todos los tres cuerpo cayeron al mismo tiempo pero esto solo se debe a que se dejaron caer una trayectoria pequeña.
Segunda Actividad: Como vemos la aceleración marca un valor muy bajo con respecto a los valores estándar. Nuestra aceleración es igual a 7,45 m/s2, esto se debe a que la fricción que presentaba el registrador y la cinta presentaba oposición a la aceleración. Por otro lado cada tic del registrador ayuda a aminorar la velocidad y por ende la aceleración. A todo esto se le suma el error en las medidas de la distancia entre los puntos marcados por el registrador en la cinta. Además encontramos que este movimiento responde a una relación directa al cuadrado.
Tercera Actividad: Los datos para el movimiento en Y presentan un signo menos por conveniencia para manejar los datos. Este signo solo indica la dirección de caída ya que nosotros tomamos distancias de caída a partir de la altura máxima. Es de resaltar que las posiciones de cada componente responden a ecuaciones paramétricas. Como vemos al tener cada componente del movimiento vemos que la posición horizontal responde a una recta y por lo tanto decimos que hay una relación directamente proporcional entre posición X y el tiempo t. Ahora bien la posición vertical responde a una relación directa al cuadrado. Es decir la velocidad horizontal es constante y su aceleración es cero, mientras que en la velocidad vertical es variable y la aceleración es igual a la gravedad. Además de eso vemos que nos dio una gravedad de 9,8 m/s2 y esto se debe a que su cálculo fue de manera indirecta y a partir de modelos matemáticos

Conclusiones.
- La relación entre distancia de caída de un cuerpo y su tiempo son directa proporcional al cuadrado, igual vemos que su velocidad y el tiempo son directamente proporcionales, mientras que la aceleración para cualquier cuerpo es constante, en condiciones ideales. En condiciones no ideales hay que tener en cuenta la forma y tamaño del cuerpo por que así mismo será su caída con respecto a tiempo.
- Dentro del proceso, se hallaron dos aceleraciones diferentes una obtenida con el registrador de tiempo que es igual a 7,45 m/s2 y la otra a la implementación de modelos matemáticos, en el movimiento semiparabólico. Con lo cual llegamos a hallar una aceleración de 9,8 m/s2 que es la que se maneja como estándar, estos dos valores se deben a que uno es hallado de manera experimental y el otro de forma indirecta respectivamente, es por ello que el de forma indirecta es más confiable pues se previenen errores.
- Un proyectil en un movimiento parabólico se mueve en un plano bidimensional, una dirección horizontal y una vertical estas a su vez se mueven con respecto a un parámetro, para este caso el (tiempo). Y que para nuestro caso las ecuaciones paramétricas son las siguientes:
x=139,44t en la dirección horizontal y en la dirección vertical y= 4,9t2.
- Se evidencia que para el movimiento parabólico las distancias se dan en un mismo intervalo de tiempo, donde distancia y tiempo se dan en proporción directa al cuadrado, donde la velocidad y el tiempo manejan una relación directamente proporcional y la aceleración en estos casos resulta ser constante, lo anterior dado en condiciones ideales y en dirección vertical.


REFERENCIAS.
Guías entregadas para elaboración de prácticas.
Paul G. Hewitt. Física conceptual. Segunda edición.
http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_parab%C3%B3lico.
http://html.rincondelvago.com/caida-libre-de-cuerpos.html
http://cydnewton.blogspot.com/.




ANEXO N° 1
Registrador de tiempo: este es un aparato eléctrico, el cual consta de un punzador que es programado para que titile varias veces en un determinado tiempo. Para esta ocasión se coloco a titilar a 40 Hz por segundo, es decir que daba 40 punzadas por segundo. Este aparato se coloca de forma que en el pase una cinta la cual tiene un cuerpo en la punta, a penas se suelte el cuerpo el registrado comienza a marcar las distancias.
Cinta para registrador: sirve para que el registrador de tiempo haga marcas a medida que el cuerpo cae. Esta es una cinta común que utilizan las cajas registradoras de supermercado solo que su ancho en de aproximada un centímetro.
Regla: Es una regla de madera de un metro de longitud, es utilizada para medir la distancia marcada por el registrador y la distancia de caída en el movimiento semiparabólico.
Una esfera: una esfera de acero que es utilizada tanto para la caída de cuerpos como para el movimiento semiparabólico.
Una Rampa: Esta rampa es de madera con una zanja de su parte superior que es por donde va a circular la esfera. Se utiliza para darle una velocidad inicial al movimiento semiparabólico.
Cinta blanca para la rampa: Esta cinta es igual a la del registrador solo que es más ancha, de aproximadamente 5,5 centímetros. Se utiliza para registrar las caídas del cuerpo en movimiento semiparabólico.
Papel carbón: Este debe ser igual de ancho a la cinta blanca para la rampa e igual de largo. Se utiliza para que el cuerpo al caer deje las marcas en la cinta para la rampa, es decir que el papel carbón está encima de la cinta y esta a su vez está encima de una regla para que se hagan las marcas.


Fotos de videncia en la realización de la práctica.


=
-----.png

=

ANEXO N° 2

En la segunda práctica se obtuvieron los por medio del registrador de tiempo. Se puso el registrador de tiempo a 40 Hz y luego se dejo caer la esfera que estaba pegada a la cinta que pasa por el registrador. Se tomo la distancia cada tres tic o golpes del registrador y luego su equivalencia en tiempo, es decir que equivale a tres veces uno sobre cuarenta (3(1/40)), de esta forma se obtuvo la tabla de datos iniciales. Usamos Excel para operar y graficar todos nuestros datos.


Para linealizar nuestra grafica, utilizamos el análisis grafico. Primeramente sacamos logaritmo a cada dato de la tabla de datos iniciales. Luego procedemos a graficar los nuevos datos. Nuestra gráfica de datos iniciales nos da una curva por lo que decimos que f(x) = axn para linealizar hacemos lo siguiente:
lnf(x) =ln (axn),
Lo que queda:
ln f(x) = ln a + ln xn
= ln f(x) =n lnx + ln a à es de la forma canónica de una recta f(x)=mx+b


Con esta ecuación sacamos la función posición. Por esta última ecuación está determinada la última grafica, es decir la de liberalización., Así que procedemos a hallar los valores a y n. la pendiente de la recta de linealizacion es igual a n y su punto de intersección con las ordenadas es igual a ln a por lo que para tener a a hacemos lo siguiente; eln a= a y de esta forma encontramos nuestra función de posición:
f(x) = axn.

Para hallar la diferencia porcentual solo basta dar a 9,8 m/s2 a calidad de un 100% y por regla de tres hallar lo que equivale la aceleración de este movimiento.

9,8/7,45 : 100/? Es decir que nuestra aceleración vale ?= 745/9,8 = 76% eso quiere decir que la diferencia porcentual es 100% - 76% = 24%.



ANEXO N° 3
Para lo obtención de los datos nos valemos de la condición de que; “si un movimiento se repite bajo las mismas condición, la trayectoria seguida por el móvil será la misma en todas las repeticiones.” Es decir que para obtener los datos de la caída de la esfera dejamos que esta ruede por la rampa hasta que pegue en una regla que tiene un papel carbón y una cinta entre el papel carbón y la regla, este proceso lo repetimos las veces que sea necesario para así medir las distancias de caída de la esfera, para mejor comprensión visualizar la imagen N° 15. Es de resaltar que la regla se va corriendo cada vez que se repite el proceso para tener varias distancias de caída.
A partir de lo anterior se obtienen los datos iniciales.


2.png

El movimiento semiparabólico tiene dos componentes, uno vertical y uno horizontal. El tiempo para la distancia horizontal es el mismo que para la distancia vertical, es por ello que para determinar el tiempo usamos las distancias verticales debido a que su velocidad inicial es cero. Para ello utilizamos la ecuación cinemática y = at2/2 lo que nos queda t= (2y/a)^0,5 con esto completamos nuestra tabla de datos y procedemos a graficar cada componente en función del tiempo.


Ahora para linealizar nos valemos del proceso explicado en el anexo N° 2 pero, resulta que la componente horizontal es un movimiento constante, por lo que nos da una recta y no necesita linealización, para hallar su función basta con hallar la pendiente de la recta. La componente vertical si es un movimiento variado por lo su gráfica es una curva y para hallar la función hay que aplicarle un proceso de linealización o análisis gráfico[12].


Ahora para hallar las funciones de velocidad y aceleración para las componentes horizontales y verticales basta con derivar cada función de posición. Así tenemos que al derivar la componente horizontal solo va a dar velocidad porque su aceleración es cero debido a que su movimiento es constante, es decir lineal. Pero, al derivar la componente vertical observamos que aquí si encontramos una velocidad y aceleración, es decir que si cogemos la función posición vertical y la derivamos encontramos la función velocidad, y si volvemos a derivar la función velocidad es decir la segunda derivada de la función posición entonces encontramos la función aceleración que en este caso va a ser una constante que es igual o aproximada a la gravedad (9,8 m/s2).



NOTA: AQUI SE ENCUENTRA EL LABORATORIO ORGANIZADO EN PDF



[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Ca%C3%ADda_libre



2 http://html.rincondelvago.com/caida-libre-de-cuerpos.html
[3]http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_parab%C3%B3lico

[4]http://rsta.pucmm.edu.do/tutoriales/fisica/leccion6/6.1.htm


[5] Ibit




[6] Ver Anexo N° 2
[7] Ibis

[8] Para una mejor descripción revisar el anexo N° 1



[9]Los datos se han puesto precedidos con signo menos para cambiar el marco de referencia, es decir que ese signo no se tendrá en cuenta al momento de operar con los datos.
[10]Todo el proceso de esta práctica está plasmado en el anexo es por ello que si cualquier duda favor revisar el anexo.
[11]Revisar anexo.



[12] Ver anexo N° 2